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幹林娘 上板大嬸根多少監督 上 床 幹過他的 臭 鮑 魚 無名 ID:FaXSqKKUNo.6032回報1推文編輯回應

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(゚∀゚)<: 上代務の画像 (Ls7/vXuo 16/12/12 21:00)

幹你娘 早見大嬸根多少 監 督 上 床 幹 鮑 魚 無名 ID:FaXSqKKUNo.6031回報3推文編輯回應

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(゚∀゚)<: 上代務 無能 (ZOEl6X2E 16/12/05 00:30)
(゚∀゚)<: 上代務 無能 (ZOEl6X2E 16/12/05 00:30)
(゚∀゚)<: 上代務 食パンに縫い針 (ki/Z3DA2 16/12/07 17:22)

幹林娘 內田真禮根多少 監 督 上 床 幹 鮑 魚 無名 ID:FaXSqKKUNo.6029回報2推文編輯回應

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(゚∀゚)<: 上代務 無能 (ZOEl6X2E 16/12/05 00:30)
(゚∀゚)<: 上代務 食パンに縫い針 (ki/Z3DA2 16/12/07 17:22)

請教島民,我用三角積分法解此題,得到2種答案 無名 ID:8cVO2cHUNo.6027回報2推文編輯回應

請教島民,我用三角積分法解此題,得到2種答案
書上答案是arcsin,
但是我看不出來下面哪裡做錯了,怎麼會差一個負號?

(゚∀゚)<: 沒有錯, arcsin x = -arccos x +pi/2 ,所以只是兩個c不同 (6k9yTt8. 16/06/18 21:34)
(゚∀゚)<: 感謝,已了解 (LqTCFbNQ 16/06/19 14:10)

請教 無名 ID:H/Q5eFXUNo.5983回報2推文編輯回應

請教
怎樣計算一組元素中所有的排列及組合可能性? (不包括empty set)

例子1: {a,b,c}
所有可能性:
a
b
c
a, b
b, a
a, c
c, a
b, c
c, b
a, b, c
...

例子2: {a,b}
所有可能性:
a
b
a, b
b, a

我知道power set及Permutation,
但這種power set和permutation結合的東西叫做什麼?

(ノ゚∀゚)ノ<: 沒怎聽說過正式名稱,自己起個union of permutation sets of every subset of {a,b,c} (except empty set)吧 (rGvQ7q9s 16/05/03 23:24)
(´д`)。o0: 怎麼會沒有, 這種東西應該很實用的呀 (H/Q5eFXU 16/05/03 23:32)
無標題 無名 ID:H/Q5eFXUNo.5984回報推文編輯

然後我試著用程式找了一下可能性的規律,
# of element | # of combination
   1        1
   2        4
   3        15
   4        64
   5        325
   6        1956
   7        13699
   8        109600

google 了1,4,15,64,325,1956...
出來的東西不知道是什麼鬼東西

無標題 無名 ID:e/ZQD.CcNo.5986回報1推文編輯

啊找到了nonempty ordered subsets的稱呼
https://oeis.org/search?q=1%2C4%2C15%2C64%2C325%2C1956&language=english&go=Search

另外通項居然還能用\[\lfloor e\cdot n!\rfloor -1\]算出

(゚∀゚)<: 感謝你 (4Wy2CUZQ 16/05/04 13:52)
無標題 無名 ID:Y4nAYdL.No.6021回報1推文編輯

通項那個在哪裡有寫啊0.0?

(゚∀゚)<: 樓上那個連結裡面就有,找floor (OCPuclKo 16/06/14 18:29)

第b小題,我將時間考慮為T=T1+T2 無名 ID:KUk.X2H6No.6017回報推文編輯回應

第b小題,我將時間考慮為T=T1+T2
T1表示第一個來的時間,T2表示第一個走的時間,去計算它的期望值
TaTb分別表示ab到來的時間tatb表示ab離去前花費的時間
所以E[T1]=p{Ta<Tb}E[T1|Ta<Tb]+p{Ta>Tb}E[T1|Ta>Tb]
=p{Ta<Tb}E[Ta|Ta<Tb]+p{Ta>Tb}E[Tb|Ta>Tb]
=\[\frac{1}{\lambda {a}+\lambda {b}}\]
但是在計算T2的期望值的時候卻沒辦法跟答案一樣
E[T2]=E[T2|Ta<Tb]P{Ta<Tb}+E[T2|Ta>Tb]P{Ta>Tb}
在計算E[T2|Ta<Tb]的時候我的想法是一樣考慮全期望公式使
E[T2|Ta<Tb]=E[T2|ta<Tb]P{ta<Tb}+E[T2|ta>Tb]P{ta>Tb}
=\[\frac{1}{\mu{a}+\lambda{b}}\]\[\frac{\mu{a}}{\mu{a}+\lambda{b}}\]+E[T2|ta>Tb]\[\frac{\lambda{b}}{\mu{a}+\lambda{b}}\]
然後再考慮其中的E[T2|ta>Tb]=E[T2|ta>tb]P{ta>tb}
+E[T2|ta<tb]P{ta<tb}
=\[\frac{1}{\mu{a}+\mu{b}}\]\[\frac{\mu{a}}{\mu{a}+\mu{b}}\]+\[\frac{1}{\mu{a}+\mu{b}}\]\[\frac{\mu{b}}{\mu{a}+\mu{b}}\]
=\[\frac{1}{\mu{a}+\mu{b}}\]
阿,等等附上答案

無標題 無名 ID:KUk.X2H6No.6018回報推文編輯

答案

無標題 無名 ID:iARv8T/.No.6020回報4推文編輯
\[ \underbrace{ \frac {1} {\mu_a+\lambda_b} }_\text{Incorrect} \cdot \frac {\mu_a} {\mu_a+\lambda_b} + E(T_2\vert t_a > T_b) \cdot \frac {\lambda_b} {\mu_a+\lambda_b} \]
標示的項錯了,這項是在算a走時b還沒來的情況,
所以先走者走的時間,便即是a走的時間,
於是從a來時開始算,期望還有\[\frac{1}{\mu_a}\]便到先走者走的時間,
這項只涉及a的參數,不干b的事。
(;´д`)ノミ: \frac 壞了,改用 \over 吧 (4FCkP7Gc 16/05/30 19:32)
(゚∀゚)<: 暫時看附圖的算式吧,因為不知縮圖會黑色一遍,沒提示附圖有算式 (iARv8T/. 16/05/30 23:08)
(゚∀゚)<: *黑色一片* / 原先看原po能用\frac就用了,誰知式子複雜點又壞掉 (iARv8T/. 16/05/30 23:15)
(゚∀゚)<: 原來如此,感謝~((我為了不讓他壞掉,把柿子切成好幾段阿 (fkUPKIIo 16/05/31 07:23)

考慮1*1*1*....乘以無限次 無名 ID:eyiOKTc6No.6008回報推文編輯回應

考慮1*1*1*....乘以無限次
那麼\[\lim_{n \rightarrow \infty}{1^n}=1\]
但是\[1^\infty\]是不定值,因為
\[\lim_{n \rightarrow \infty}{\left(1 + {1 \over n}\right)^{an}}=e^a\]

同理\[0^\infty\]也是非定值,因為當\[f(t) = t\]\[g(t)={a \over t}\]
雖然\[\lim_{t \rightarrow 0}{t} = 0\]\[\lim_{t \rightarrow 0}{1 \over t}\]發散
\[\lim_{t \rightarrow 0}{f(t)^{g(t)}}\]也是發散的


為什麼次方出現無限這個符號之後
我們就需要用\[\lim_{x \rightarrow a}f(x)^{g(x)}\]來定義他的值
而不能按照次方"原本"的定義?

無標題 無名 ID:bZaTdiskNo.6009回報推文編輯
>>不能按照次方"原本"的定義?

因為還沒定義過的東西,要用就要先下定義,根本就沒有「原本的定義」。

次方裡指數的發展是這樣的,
次方最初是表示重覆的乘法,所以 a^b 只對正整數的指數 b 有定義:
a^1 = a
a^n = a * a^(n-1), n>1 (#)

當然後來也有0次方和負數次方。
雖然 a^n = 1/a^-n, n<0 和 a^0 = 1 與正整數指數的規律很吻合,
但這也是要特地定義過才能成立。
不然你只用(#)那兩條式,無論如何也證明不出負數次方是取倒數的。

再來是有理數次方 a^(M/N) (M,N為整數,N非0),同樣需要下新定義。
例如可以定義\[a^{M/N} = \sqrt[n]{a^m}\],其中 m/n 是 M/N 約至最簡的形式,
得到 8^(2/3) = 4 等等。
(當然未引入複數時,若開不了方則作 a^(M/N) 未定義論。)
(規定先約至最簡是為了避免\[(-1)^1 = (-1)^{2/2} = \sqrt{(-1)^2} = 1\]之頪。)

你問為何「無限次方」要用極限定義,
其實下一步的無理數次方,已常見是用極限定義的了。
不然要怎樣說明甚麼是\[2^\pi\]呢?
\[\pi\]個2乘起來說不通,對無理數用\[\sqrt[n]{a^m}\]也不行,
\[2^\pi\] 等作 {2^3, 2^3.1, 2^3.14, 2^3.142, ...} 的極限已是很直觀的定義了。
我知道指數的無限大因為不能單以實數討論 無名 ID:WsPjp76sNo.6010回報1推文編輯

我知道指數的無限大因為不能單以實數討論
所以必須用極限定義

但如果{2^3, 2^3.1, 2^3.14, 2^3.142, ...}已經非常直觀
意即:\[\lim_{x \rightarrow a}{2^{f(x)}}\]\[\lim_{x \rightarrow a}{f(x)} = \pi \]

那為何\[1^\infty\]不是以{1^1, 1^2, 1^3, ...}去定義
意即:\[\lim_{x \rightarrow a}{1^{f(x)}}\]\[\lim_{x \rightarrow a}{f(x)}\]大於零且發散

而是以{(1 + 1)^1, (1 + 1/2)^2, (1 + 1/3)^3, ...},或
\[\lim_{x \rightarrow a}{f(x)^{g(x)}}\]\[\lim_{x \rightarrow a}{f(x)} = 1 \]\[\lim_{x \rightarrow a}{g(x)}\]大於零且發散

說明\[1^\infty\]?
底數已經是很簡單的正整數了啊

(゚∀゚)<: 若注目在極限運算,懂二元極限的話,除了看下面,也可算算 (lim x->a, y->+∞) x^y 在 a=1 和 a>1 時有何不同 (bZaTdisk 16/05/26 15:31)
>>次方出現無限這個符號之後 無名 ID:bZaTdiskNo.6012回報1推文編輯
>>次方出現無限這個符號之後

算式出現無限時的問題,看你想在中學還是大學的範圍討論。

中學程度裡,還沒將∞當作一個「數」看待,沒真正定義∞究竟是甚麼數學概念。
所以別說1^∞, 0^∞,中學程度裡即使寫 1/∞ = 0 也是不許的。
緃使「將1平分無限多份,每份只能是0」的概念很直觀,
想表達這概念則要寫\[lim_{x\rightarrow \infinity } 1/x = 0\]
所以要表達有關「無限次方」的概念自然也要用極限。

課本裡的不定式 0/0, ∞/∞, 1^∞, 0^∞ ,各代表的是一整類的極限題目,
1^∞ 等本身只是個容易記憶聯想的名字而已,
目的在令學生遇到這頪極限式時,易於辨認,記得要怎樣做,
千萬不要以為真的在算「無限除以無限」、「1的無限次方」啊。
就像剛學負數時,課本也有寫 \[(-)\times (-)=(+)\]
這樣表達「負負得正」很好懂,但當然本身不是規範的算式。

--------

若修讀上去,想在算式裡直接用∞,數學家也有定義過擴展實數線\[\bar{\mathcal{R}}\]
https://en.wikipedia.org/wiki/Extended_real_number_line
包含平常的實數和 +∞, -∞ 兩個作為「數」看待的新符號,
並定義好涉及+∞、-∞的加減乘除和其他運算,
例如真的定義了 1/±∞ = 0 ,而 e^-∞ = 0 和 e^+∞ = +∞ 也在這系統成立。

到此自然又問 e^-∞ = 0 和 e^+∞ = +∞ 等等怎來的?
視乎具體文章作者的做法,技術上可能會直接定義 a^-∞ = 0, a^+∞ = +∞ (a>1),
也可能定義:若\[\lim_{x\to a, y\to +\infty} x^y\]等於實數L (或趨於±∞),則 a^+∞ = L (或±∞)。

這兩定義,後者乎合「a的指數無止境的大,結果也會無止境的大」的直觀,
前者採直接定義,但其實定義背後的動機不也還是為了吻合極限式,同時乎合直觀。

說回 1^∞,好像多數作者將之留為未定義,為的是吻合不定式 1^∞ 裡不定的情形,
你在 No.6010 已指出了,當f(x)恆為1時,按極限可定義 1^∞ = 1。
但另取 f(x),則極限可能不是1。
既然不同的 f(x) 沒有共識,就拉倒不定義算了,這是多數作者的做法。

像 e^∞ 就沒問題,即便用\[\lim_{x\to a, y\to +\infty} x^y\]作定義,還是得 +∞。

要是你喜歡,也可在你的論文裡,自創個獨立的新系統,定義 1^∞ = 1,
並弄清一切運算規則,別將在其他系統才成立的公式搬來用,亦無不可。
而多數作者沒這樣做,我猜是定義了 1^∞ = 1 也沒甚麼有趣或實用的結論,來吸引學者吧。
(゚∀゚)<: 順帶一提,沒有共識就拉倒的情形在0^0也有嘛,0=0^1=0^2=...暗示0^0定為0就好,但1=1^0=2^0=...卻要0^0定為1才行,所以一般而言0^0留為未定義 (bZaTdisk 16/05/26 15:47)
感覺有懂一些了 無名 ID:WsPjp76sNo.6013回報3推文編輯

感覺有懂一些了
但如果今天要計算的不是1^∞,而是0^∞
我應該怎麼找出0^∞是多少?

如果這樣做的話:
\[\lim_{x \rightarrow c}{f(x)=0}\]
\[\lim_{x \rightarrow c}{g(x)=\infty}\]

\[0^∞ = \lim_{x \rightarrow c}{f(x)^{g(x)}}\]
\[=\lim_{x \rightarrow c}{exp(g(x)\ln{f(x)})}\]
\[=\lim_{x \rightarrow c}{exp({\ln{f(x)} \over {1 \over g(x)}})}\]
\[=exp({-\infty \over 0})\]
\[=-\infty\]
這樣做可以嗎?

不過共識好像是0^∞,為什麼?

(゚∀゚)<: 啊等等0^∞根本不是不定式,0^∞才是。我上面沒多想也寫錯了。無窮多個趨近0的數相乘,取0就好嘛 (.Q4t9Q0o 16/05/26 22:19)
(゚∀゚)<: 你的g(x)是∞不要動,ln f(x)是-∞,所以g(x) ln f(x)還是-∞,再取e^-∞就得0 (.Q4t9Q0o 16/05/26 22:23)
(゚∀゚)<: 看來把g(x)移動到分母好像反而是多餘的 (WsPjp76s 16/05/26 22:25)
無標題 無名 ID:/ctX89ZkNo.6014回報推文編輯

這時候我們需要考慮ε, δ-language吧?


為什麼對cosx作Fourier transform有2個imp... 無名 ID:yTACh.AINo.6000回報推文編輯回應

為什麼對cosx作Fourier transform有2個impulse functions?
其實我對fourier transform後的圖像也不太明白
x軸是代表頻率, y軸是代表magnitude嗎?
如果是的話, 為什麼cosx有2個impulse functions呢?不是一個嗎?

無標題 無名 ID:QfqJgZwMNo.6001回報1推文編輯

哪有兩個impulse functions?
你說負頻率那個嗎?
管它正負還不是同一個頻率
請把它們加在一起看待
合起來才構成該頻率的完整資訊(相位和虛實部等等)

(゚∀゚)<: 為什麼正負是一樣? 還有為什麼是impulse function呢?那一點的magnitude可是無限啊...但cos(x)不就是一個頻率,magnitude為1嗎? (yRnHDdyM 16/05/19 19:33)
無標題 無名 ID:QfqJgZwMNo.6002回報6推文編輯
>為什麼正負是一樣?
cos x的頻率是多少?
cos (-x)的頻率是多少?
sin x的頻率是多少?
sin (-x)的頻率是多少?

>還有為什麼是impulse function呢?
數學上可以簡單由算式看出來,不必多說吧
不過我想你問的並不是算式上的解釋

以電子學/物理的概念理解,「功率」沒錯是1
但是取樣由t=-∞到t=+∞,所以「總能量」是無限大
因為Fourier transform的結果跟時間無關
所以不要用每分每秒在變化的「功率」來理解/類比
(゚∀゚)<: 啊..所以正常來說,function經過fourier transform之後, 會左右對稱, 但我還是不明白為什麼magnitude不是1啊 (yRnHDdyM 16/05/19 20:24)
(゚∀゚)<: fourier transform不就是看fourier series中的系數嗎? cos(x) = 1*cos(x)啊? 我完全不明白啊 (yRnHDdyM 16/05/19 20:26)
(゚3゚)。o0: 不是左右對稱,sin x就不是對稱了 (QfqJgZwM 16/05/19 22:07)
(゚3゚)。o0: 一般運用上會當成magnitude沒錯,但仔細一點說是包含該頻率所有資訊 (QfqJgZwM 16/05/19 22:12)
(゚3゚)。o0: 所以不要一律當成magnitude看,組枝大葉當然不難以理解當中細節 (QfqJgZwM 16/05/19 22:14)
(゚3゚)。o0: 另一個看法是只有一兩個無闊度的點不是零,但是逆變換積出來卻不是零,只能是impulse function了 (QfqJgZwM 16/05/19 22:27)
無標題 無名 ID:1jl1RjC.No.6004回報推文編輯

我不明白...可以用這張圖解釋一下經過fourier transform後,
x軸,y軸代表的意思嗎? 以及F(cosx),為什麼是impulse function?

無標題 無名 ID:Eajm3jVoNo.6007回報10推文編輯

由Fourier series說起
對周期L的實數函數f(x),我們有
\[a_n={2\over L}\int_{0}^{L}f(x)\cos({2\pi n x\over L})dx\]
\[b_n={2\over L}\int_{0}^{L}f(x)\sin({2\pi n x\over L})dx\]
\[a_n\]\[b_n\]是magnitude嗎?
可以說是也可以說不是,嚴格來說它們合起來\[\sqrt{a_n^2+b_n^2}\]才是整個頻率的magnitude
這兩個數字也決定了相位(算式太麻煩不寫了)

進一步我們考慮複數函數,我們通常把sin和cos兩項合拼為
\[c_n={1\over L}\int_{0}^{L}f(x)e^{-i{2\pi nx\over L}}dx\]
然而如果只有這項,虛部和實部振幅永遠相同,相位也永遠相差90°
加上「負頻率」才能得到符合f(x)的虛部實部振幅和相位

概念上Fourier transform是周期無限長的Fourier series
把L→∞,我們得到……等等,\[c_n\]開頭的部分是1/L
這樣除了像cos x那樣無限長的周期函數以外全都打成零了,逆轉換也無法進行
把它拿掉吧,Fourier transform的結果也成為類似像密度的東西
像cos x這種無限集中在同一個頻率的輸入就變成impulse function了

(゚∀゚)<: 有點明白,那cosx+cos2x+cos3x+...的fourier transform呢? 無限集中在無限的位置? (1jl1RjC. 16/05/20 21:34)
(゚3゚)。o0: 這問題有夠爛,cosx+cos2x+cos3x+...本身已經有無限個無限大了 (1QPx3XtE 16/05/21 13:34)
(゚3゚)。o0: 再者無數個impulse functions也不是什麼不可思議的事 (1QPx3XtE 16/05/21 13:38)
(゚∀゚)<: 最後三句能再詳細一點嗎? (RSqkM1DY 16/05/21 15:08)
(・_ゝ・)<: 先想一下Fourier transform是要拿來做啥的吧… (upBR6Ka6 16/05/23 09:02)
(・_ゝ・)<: 而且如果只是針對所謂的「2個impulse functions」,中間那一段就已經說得很清楚了 (upBR6Ka6 16/05/23 09:02)
(・_ゝ・)<: 順帶一提,那不是impulse function…只是數值為1的一個點而已 (upBR6Ka6 16/05/23 09:04)
(゚3゚)。o0: 回RSqkM1DY,試試拿非周期函數(如No.6004)當周期L很長的函數做Fourier series (TswZ6i9c 16/05/24 17:29)
(゚3゚)。o0: 得出來的結果會跟周期成反比,當周期趨向無限大結果就是一片零。拿掉1/L出來的意義有微妙的變化 (TswZ6i9c 16/05/24 17:36)
(゚3゚)。o0: 回upBR6Ka6,用x範圍由-∞到+∞那條算式做Fourier transform便會有impulse function (TswZ6i9c 16/05/24 17:44)


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