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心臟病 (撲克牌遊戲)的數學問題  ID:D0m29n5YNo.5985回報1推文編輯回應

很想知道假設按規則玩下去,造成和局的機率是多少??

和局即是指所有玩家都把牌打出了,卻無事發生

(゚∀゚)<: 用亂序算? (pc2erXps 16/05/04 09:15)
答案以最簡分數是 無名 ID:e/ZQD.CcNo.5987回報推文編輯

答案以最簡分數是
4610507544750288132457667562311567997623087869
------------------------------------------------
284025438982318025793544200005777916187500000000

以小數約0.0162327,
這是借助了電腦編程才算出來,不過過程也不是不需人腦思考的。

這題可表述成隨機排列{1, 2, ..., 52}為數列a,
問i取1至52時,\[a_i\not\equiv i \pmod{13}\]均成立的機率。

先看問題的簡化版本:把以上條件改為\[a_i\neq i\]
這對應遊戲用1至52的號碼卡玩,喊數也由1喊至52,出牌和喊數相同時要給反應。

參見The envelope matching problem,
http://mathforum.org/library/drmath/view/56592.html
https://probabilityandstats.wordpress.com/2010/02/18/the-matching-problem/
這樣問題便有個很漂亮的解答,
機率是1-1/1!+1/2!-1/3!+1/4!...+1/52!,很接近1/e。

現在想修改The envelope matching problem的算式以吻合原題。
\[A_i\]\[a_i\equiv i \pmod{13}\]這事件。
類似簡化題目的解法,現在也想求\[P(A_i), P(A_i\cap A_j), P(A_i\cap A_j \cap A_k)\]等等。

首先可見,對所有i,\[P(A_i)\]均為4/52 = 1/13。
例如喊13時出牌剛好是13, 26, 39或52,機率當然是4/52。

\[P(A_i\cap A_j)\]開始就麻煩點,
如果i和j不同餘,則\[P(A_i\cap A_j) = 4/52 \times 4/51\]
例:喊1時出牌是1, 14, 27或40,兼喊2時出牌是2, 15, 28或41,機率是4/52 * 4/51。
但若i和j除以13同餘,則\[P(A_i\cap A_j) = 4/52 \times 3/51\]
例:喊1時出牌是1, 14, 27或40,兼喊14時出牌也是1, 14, 27或40,機率是4/52 * 3/51。

文長休息一回再發。

無標題 無名 ID:e/ZQD.CcNo.5988回報推文編輯

續,補充上面i, j不代相同值的。
若取i和j不同餘,有52*48/2種取法。
若取同餘,有13* 4C2種取法。

然後算\[P(A_i\cap A_j\cap A_k)\] (i, j, k兩兩相異) 了。
這次更要分為i, j, k兩兩不同餘,i, j同餘而k不同,i, j, k皆同餘,三種情況。
i, j, k兩兩不同餘:\[P(A_i\cap A_j\cap A_k) = 4/52\times 4/51\times 4/50\],這樣的i, j, k有52*48*44/3!種取法。
i, j同餘而k不同:\[P(A_i\cap A_j\cap A_k) = 4/52\times 3/51\times 4/50\],這樣的i, j, k有13* 4C2 *48種取法。
i, j, k皆同餘:\[P(A_i\cap A_j\cap A_k) = 4/52\times 3/51\times 2/50\],這樣的i, j, k有13* 4C3種取法。

再之後是四個\[A_\bullet\]重疊的機率了。
不如寫為\[P(A_i_1\cap A_i_2\cap A_i_3\cap A_i_4)\],並引入以下的「加式」表達有哪些i同餘:

\[i_1,i_2,i_3,i_4\]兩兩不同餘:
「加式」為"1+1+1+1",機率為\[(P^4_1)^4/P^{52}_4\],有\[P^{13}_4/4!\times (C^4_1)^4\]種取法。
\[i_1,i_2,i_3\]兩兩不同餘而\[i_1,i_4\]同:
「加式」為"2+1+1",機率為\[P^4_2(P^4_1)^2/P^{52}_4\],有\[P^{13}_3/2!\times C^4_2(C^4_1)^2\]種取法。
\[i_1,i_2\]同,\[i_3,i_4\]同,\[i_1,i_3\]不同:
「加式」為"2+2",機率為\[(P^4_2)^2/P^{52}_4\],有\[P^{13}_2/(2!)^2\times (C^4_2)^2\]種取法。
\[i_1,i_2,i_3\]同,獨\[i_4\]不同:
「加式」為"3+1",機率為\[P^4_3 P^4_1/P^{52}_4\],有\[P^{13}_2 C^4_3 C^4_1\]種取法。
全同餘:
「加式」為"4",機率為\[P^4_4/P^{52}_4\],有\[P^{13}_1 C^4_4\]種取法。

以上要點排列組合的根底才跟得上,而且也要自己想一遍,計算太多不能全部說明。
另外為了之後編程的需要,算式不一定採最直覺的寫法,而是由統一的規律生成。

解說一下,"2+1+1"的\[P^4_2(P^4_1)^2/P^{52}_4\]中,\[P^{52}_4\]的4來自現在有\[i_1\]\[i_4\]四項,\[P^4_2\]的2來自加式的2,\[(P^4_1)^2\]的1來自加式有1,2次方是因為有兩個1。

而取法\[P^{13}_3/2!\times C^4_2(C^4_1)^2\]中,\[P^{13}_3\]是因為加式有3個數加起來,除以2!是
因為加式中有兩個1是重複的,然後\[C^4_2(C^4_1)^2\]生成規律和上段\[P^4_2(P^4_1)^2\]一樣的,只是P換成C。

加式方面,就只是要窮舉4拆分為正整數之和的組合。

掌握了機率和取法數如何由加式生成,有更多\[A_i\]重疊的機率也能編程算了,
先讓程式生成"1+1+1+1+1", "2+1+1+1", "2+2+1", "3+1+1", "3+2", "4+1"
(其實就是這步的推廣卡住,非得用到電腦才可解)
(另外留意加式沒有"5"或以上的,因為撲克同一點數沒有5種花色啊)
(加式也不能有超過13個數加起來的,因為撲克只有13種點數)
再按上面規律列式計算機率和取法數。

最後對照The envelope matching problem,
算出\[1-m_1 P(A_i_1)+m_2 P(A_i_1\cap A_i_2)-m_3 P(A_i_1\cap A_i_2\cap A_i_3)+...\]
其中像\[m_4 P(A_i_1\cap A_i_2\cap A_i_3\cap A_i_4)\]這些項的算法是,
分別將每個加式的機率與取法數相乘,然後將各加式的乘積取和就是。

\[m_2 P(A_i_1\cap A_i_2)\]就是(見上帖) (4/52*4/51 * 52*48/2) + (4/52*3/51 * 13*(4C2))
因為這項本來的意思就是將每組\[P(A_1\cap A_2), P(A_2\cap A_3),\ldots\]全加起來。

無標題 無名 ID:a7DWIVd6No.5995回報12推文編輯

雖然說用電腦解感覺有點作弊
不過已經用理論解開了就當作是理論解吧

這個題目我會讓電腦模擬多次遊玩後的結果
因為規則全部知道的情況下,也就知道所有的分布機率
用蒙地卡羅算起來很簡單,8行的小程式就好
讓電腦玩1000萬局算出0.0162,花大概2分鐘

收起推文
2推省略……
(゚∀゚)<: 詳細蒙地卡羅 (zg52.FyA 16/05/09 12:59)
(゚∀゚)<: 所謂蒙地卡羅就是暴力解,讓電腦隨機玩幾萬局去實驗看機率大概是多少 (zEv7jC7s 16/05/09 14:46)
(゚∀゚)<: 2分鐘能跑一千萬次你家電腦的運算力好像不低耶... (b1w7qF8Q 16/05/18 08:26)
(゚∀゚)<: 衝這句我也實驗看看,用C語言比我預想中還快,四線程的程式在四核i5,用90.63秒就跑了664,414,811局!而且程式還可以再寫快一點的 (EsxmhAWs 16/05/18 22:54)
(゚∀゚)<: 可惜我的程式一直算出0.040,應該還是已有三種方法驗證過的0.016才對 (EsxmhAWs 16/05/18 23:04)
(゚∀゚)<: Debug過應是我用C的stdlib.h的rand_r()產生的自亂數不夠均勻所致,以前也聽說撲克組合52!實在太大,一般亂數器的熵不夠產生均勻分佈云云,這我不懂解決 (EsxmhAWs 16/05/18 23:06)
(゚∀゚)<: 但總之這解決了後,兩分鐘一千萬局應該是很充裕,上面一分半就六億了 (EsxmhAWs 16/05/18 23:08)
(゚∀゚)<: 改用cstdlib看看,之前我也碰過math.h有問題改cmath就OK的...不過要用C++就是了(沒記錯的話 (kGPLWXAI 16/05/20 04:43)
(゚∀゚)<: a7DWIVd6 : 我是用matlab跑的, 沒有特別考慮運算速度 (xWjUoyAg 16/05/23 19:00)
(゚∀゚)<: CPU是AMD PRO A4, 雖然比不上高級CPU, 但是算這種題目很夠用了 (xWjUoyAg 16/05/23 19:01)
(゚∀゚)<: 關於程式內容:先做出4次1:13的數列後打亂, 然後比較有沒有打亂後數字跟原本的數列重複的數字 (xWjUoyAg 16/05/23 19:03)
(゚∀゚)<: 速度上應該有更快的寫法 (xWjUoyAg 16/05/23 19:07)
無標題 無名 ID:b1w7qF8QNo.5999回報2推文編輯

準確的算法上面有奆奆答了
如果你想要快速估算大概多少場會發生一次(數學專長的別打我)
(13/12)^52 你會發現算是接近理論值,不是生死或者學分攸關的場合應該能接受了

(゚∀゚)<: 13/12念作十二分之十三 (JTgC6RqA 16/05/19 11:24)
(゚∀゚)<: 你這算法得出約64.2場一次,比理論值高了4%左右,如果能在數秒內回答算是合理吧。 (LTmzQHD. 16/05/20 14:42)

今有一楓之谷玩家 無名 ID:zn0n7902No.5996回報推文編輯回應

今有一楓之谷玩家
衝30%詛咒捲 有30%機率會成功
若失敗 道具有50%機率會被破壞

若此玩家衝某裝備7次 求此裝備+4以上的機率為何?
(若某次裝備被破壞即不能再繼續衝)

無標題 無名 ID:e28qD4LUNo.5997回報4推文編輯

有好幾種方法
使用電腦的話
矩陣法比較帥氣
附圖那個乘開就好了

(゚∀゚)<: Markov Chain+1, 這題一看就是Markov的題目 (xWjUoyAg 16/05/23 19:08)
(゚∀゚)<: 注意答案是第4個數字 (xWjUoyAg 16/05/23 19:11)
(゚∀゚)<: 加上後面的數字 (xWjUoyAg 16/05/23 19:12)
(゚∀゚)<: 不過感覺矩陣不大對, 行的加總應該要是1, 另外還要absorbing state (xWjUoyAg 16/05/23 19:16)

阿彌陀佛哪位島民能救救我的大一數學 準備被當惹 無名 ID:Ow9U7Zx2No.5994回報4推文編輯回應

阿彌陀佛哪位島民能救救我的大一數學 準備被當惹

(´д`)▄︻┻┳═一: http://imgur.com/a/C0iZf (Ow9U7Zx2 16/05/08 20:16)
(゚∀゚)<: 人生不是只有數學這條路 (KJDs0esc 16/05/08 21:42)
(゚∀゚)<: 等到你大二時就會覺得大一的科目都很簡單 (mvbKc0Z. 16/05/16 00:41)
(゚∀゚)<: 放在大一的課就是要你修四年的。 (9aE5.oLg 16/05/16 16:48)

想請教 無名 ID:XZQwqsWwNo.5982回報5推文編輯回應

想請教

今天一張彩卷中獎機率10%,彩卷中獎是獨立事件
我買了30張彩卷,不中獎的機率是(0.9)^30 = 0.042 約莫是4%
所以我可以說"當我買30張彩卷,我有高達96%的中獎機會"嗎?

不知道有沒有推薦的書籍討論機率跟微積分,希望盡可能是中文的
因為以往看原文書或多或少有些用詞不太清楚意思
為了讓公式可以解讀的通,往往扭曲了部分意思而不自知

(゚∀゚)<: 嚴格的說,至少中一張的機率是96% (4pUNHMeY 16/05/03 19:28)
(・ω・)。o0: 正確。而且96%中獎機會裡還包括中超過一個獎 (lPL/o6yA 16/05/03 19:30)
(゚∀゚)<: 原PO:太好了 沒錯誤理解這部分,不過還是想請大家推薦書籍 (XZQwqsWw 16/05/03 23:37)
(゚∀゚)<: 沒有特別指定程度的話,就到大學附近的二手書店買一本便宜的來自修就可以了 (nqZ0FkXs 16/05/04 00:29)
(゚∀゚)<: 比較希望是可以清楚講完觀念,比較大的問題是往往會算但不知道為何這樣算,深入一問就不清不楚 (pc2erXps 16/05/04 09:17)

要怎麼跟學生解釋 無名 ID:aus50c3gNo.5974回報5推文編輯回應

要怎麼跟學生解釋

"微分一定可以微,積分不一定積的出來"

這裡指的是技術層面,而不管甚麼連續不連續的問題

(゚∀゚)<: 不負責任的解釋 : 微分有對付乘除次方的方法, 積分沒有 (tsev2zU6 16/04/15 22:22)
(゚∀゚)<: 微積分都忘光了,記得不管什麼函數用泰勒展開式都勉強可以積分? (Nsxa1qWA 16/04/16 03:03)
(д)゚゚y━・~: 並不是所有函數都可以用泰勒級數展開。泰勒級數展開的第一條件就是要N階導數階在收斂區間內可微。 (T5ZeswrA 16/04/17 10:44)
(д)゚゚ノ: 如果樓主的意思是指學生以手寫的方式能微,可是無法手寫的方式積出某函數。我想e^(x^2)會是最好的例子。 (T5ZeswrA 16/04/17 11:08)
(д)゚゚ノ: 另外,試卷的題目一定是可用手寫方式積分或微分(除非出題者出錯了)。但是可不可微或積分還是要依照定義來看。所以連續函數(平滑或片短平滑)的定義及觀念還是很重要的! (T5ZeswrA 16/04/17 11:11)
無標題 無名 ID:Bb72Yd6QNo.5976回報2推文編輯

技術層面是指甚麼?
處處連續卻處處不可微的函數也是有啊。
如果限指中學遇得到的,
那積分也是沒看過多少不能積的,
只是答案不一定能表達成初等函數的組合。
可不可積,和積了答案如何表達出來,是兩個概念。

如果在討論後者,原因大概是微分有鏈式法則,
能將初等函數的組合,微分回初等函數的組合,
而積分則缺了這法則,以致積分結果有時出了初等函數之外。

不過要再問為甚麼積分沒有鏈式,
為甚麼微分操作在初等函數組合上是閉的而積分操作不是,
問題層次就忽然很高了。
可能因為微分只關乎函數局部的斜率,而積分量面積時是全局相關,
影響因素更多,所以積分較「難」吧。

(゚∀゚)<: 補充真的問可不可積的話,其實可積比可微還更常見呢,一堆不連續的函數還是可積的,要舉不可積的例也較難想,如要找些不連續處多到某程度的。 (Bb72Yd6Q 16/04/16 09:44)
(゚∀゚)<: 聽說有的三角函數有些明顯可積,但最後會有兩個實際上是同樣東西的答案 (SLBDBhE6 16/04/18 21:03)
無標題 無名 ID:U84R.j9ENo.5977回報2推文編輯

正如>>No.5976
所說有 Non-Differentiable Functions
所以"微分一定可以微"這說法並不適當

但大概理解原PO的意思 不妨改成這麼說
"有些事依方法作便能簡單辦到 但把事情倒過來辦卻不一定"

數學上的例子
(A)把兩個質數相乘 151*389
(B)已知一數由兩個質數相乘求這兩個質數 58739
(A)明顯比(B)簡單 特別是這兩素數都十分大的時候
P.S.使用計算機也是(A)比(B)簡單

日常的例子
(A)把完成的拼圖拆散
(B)把拆散的拼圖完成

注意的是並不代表(B)一定很難
例如 求15的因數 或 完成只有10件的拼圖

中學微積分正是這樣

(゚∀゚)<: 好像在談密碼學一樣 (JdlZgUPU 16/04/17 22:23)
(゚∀゚)<: 推 (rhpQ9I8Y 16/04/18 11:15)

關於MPK 經濟微分 ID:lbcjH./.No.5971回報推文編輯回應

關於MPK
我怎麼算
他(H/K)的地方我都算(K/H)...

有人剛好會的嗎?

無標題 無名 ID:mBKpmVnYNo.5972回報4推文編輯

無內文

(゚∀゚)<: 所以是我的圖片弄錯??? (QjPiu5Og 16/04/11 01:54)
(゚∀゚)<: 所以說我給的圖中MPK是錯的?? (QjPiu5Og 16/04/11 01:57)
(゚∀゚)<: 謝謝喔 (QjPiu5Og 16/04/11 02:20)
(゚∀゚)<: OP那張的邊際資本產量算錯了 (MnelhwR6 16/04/11 08:41)

關於薛丁格貓的實驗 無名 ID:596LMkkkNo.5960回報2推文編輯回應

這篇文我放在物理版已三天無人聞問,所以我希望對此有所涉獵的板友能為我解惑。

最近聽到關於這個實驗的內容,思考了一下,想到了兩個問題。
如果說這隻貓有可能存活也可能死亡,那他存活的可能性到底是在何時決定的?是在在實驗結束後還是我們觀察後?
還有,如果是人在進行實驗,那貓的死活是機率亦或人在支配?

還有最近那些噁心的洗版文是怎樣?不能制止嗎。

(゚∀゚)<: 洗版大概沒辦法吧。丟綜合學術應該會比較有人? (lQE4CsNs 16/04/01 02:27)
(゚∀゚)<: 不曉得從什麼時候開始,K島那句寫在規則裡面的「無視」不見了。 (p0brpwEA 16/04/05 04:24)
無標題 無名 ID:gKOk2C.ANo.5961回報推文編輯
>那他存活的可能性到底是在何時決定的?是在在實驗結束後還是我們觀察後?
觀察後
>還有,如果是人在進行實驗,那貓的死活是機率亦或人在支配?
人只是客觀觀察,沒支配沒決定
貓的死活是概率問題
無標題 無名 ID:w7NfA4UgNo.5962回報9推文編輯

要了解這隻莫名其妙的貓,首先你要先知道這是一隻量子貓

>那他存活的可能性到底是在何時決定的?
沒有任何人真的知道(第一個知道的那個人毫無疑問應該會得到諾貝爾)
目前我們只知道他發生在量子尺度到奈米尺度的中間

>是在在實驗結束後還是我們觀察後?
樓上回答正確,但我補充一下就是
實驗後貓回到半生半死的狀態
原因下面說

就跟古典不會有人質疑慣性或重力的存在一樣
因為那是觀察歸結出來的自然存在的現象

在貓的問題上,基本粒子的世界裡半生半死的疊加狀態就是自然現象
觀測到其中一種可能性的時候
單一觀測結果往往與真實相悖,所以觀測後單一結果的系統會崩潰回觀測前
但我們大致上能夠計算出生與死的機率各是多少

至於機率誰決定的就只有鬼知道了
(其實應該連鬼都不知道....)

ヽ(●´∀`●)ノ<: Let's throw a die (YebqXCtY 16/04/01 22:30)
゚∀゚)ノ~♪: 機率由實驗決定,沒有不知道。不知道的是怎樣由機率崩塌到觀測結果 (C0rDfJJY 16/04/02 13:28)
(゚∀゚)<: 實驗沒決定概率,但出的概率是統計回來的 (Wt2H2pMY 16/04/02 16:02)
(゚∀゚)<: *得出 (Wt2H2pMY 16/04/02 16:02)
(゚∀゚)<: 我在綜合學術也丟了個延伸問題。 (m02bxoBk 16/04/02 16:21)
゚∀゚)ノ~♪: 貓有多少機會死完全由裝置決定,這是實驗者決定好的,為何說沒決定概率? (C0rDfJJY 16/04/02 18:18)
゚∀゚)ノ~♪: 貓只有一隻,疊加狀態一旦觀察便會破壞,只能測量一次你要怎樣統計? (C0rDfJJY 16/04/02 18:19)
⊂彡☆))д`)<: 誰說只找一隻貓 (Wt2H2pMY 16/04/02 19:30)
゚∀゚)ノ~♪: 不如問誰說有很多貓?你要修改實驗嗎?即使改實驗,要怎樣讓另一隻貓做出完全相同的疊加態? (C0rDfJJY 16/04/02 20:08)
無標題 無名 ID:a5K3qZyoNo.5963回報推文編輯

人類最小的觀察手段就是透過光
光本身就是量子
觀察量子這件事本身就會對量子做影響
所以人類目前不可能觀察到自然狀態的量子
就好像沒建立基準線的測謊儀器你無法辨認出受測者的話是真是假
人類也沒辦法辨認出哪一個理論對量子動態的描述是對是錯
量子是隨機的這件事就跟百年前打雷是索爾的脾氣一樣
就是人類對無法理解的事物一套解釋的理論
嘛...就算全用北歐神話而不是科學解釋,維京人技術一樣行得通一樣是航行全世界

無標題 無名 ID:Wt2H2pMYNo.5964回報推文編輯
>∀゚)ノ~♪: 不如問誰說有很多貓?你要修改實驗嗎?即使改實驗,要怎樣讓另一隻貓做出完全相同的疊加態? (C0rDfJJY 16/04/02 20:08)
我還以為我們在談數學的概率問題呢
就是結果不一樣才有統計的需要吧?
>∀゚)ノ~♪: 貓有多少機會死完全由裝置決定,這是實驗者決定好的,為何說沒決定概率? (C0rDfJJY 16/04/02 18:18)
那…你是在說控制目標概率的數字?而我是在說概率本身是大自然規律不能控制的
你大概是在說選擇特定的放射元素以達到特定的概率?而我是在說該特定概率本身並不能被控制
無標題 無名 ID:TVsO4eQUNo.5965回報1推文編輯
>>No.5964
概率是一個介乎零與一的值
這個值當然由實驗設置控制,沒有不受控
例如用放射元素,一個半衰期就是50%概率
兩個半衰期是75%概率,如此類推
只要控制放置時間就可以把概率控制在0到1之間任何數字
概率本身完全受控

我想問題大概出在遺詞用字上
你所謂「概率本身」大概是指產生不確定性的物理規律
或者再簡化成「不確定原理是自然規律」
無論你的原意是什麼,大概不會真的指概率本身

再來是統計
數學上概率是未發生的事件的可能性
統計是整理已發生的事件的情報
它們是兩個不同的概念
數學上談概率可以但不必要把統計拉進來談,反之亦然

你把貓實驗前對實驗器材的研究,和貓實驗本身混為一談了
當我們不知道放射性元素的衰變時間,沒錯要靠實驗和統計找出來
但是裝設貓實驗的時候已經知道元素衰變時間
怎樣控制概率也是完全掌握了
既然概率已知及受控,所以這時候並不需要用很多貓做統計
(`・ω・´)<: 其實就是我們的話題不一樣但對上嘴了,而且我物理不好(牆角 (tovMUc42 16/04/03 16:06)
無標題 無名 ID:OxaypvYENo.5966回報推文編輯
>>No.5960
超簡單的問題
他存活的可能性 是在 下定義那一刻時決定的
簡單說 是定義這問題的條件時就決定了

幹林娘 日笠大嬸跟多少監督 上 床 幹他的 臭 鮑 魚 了 無名 ID:M/G3t1ZUNo.5959回報推文編輯回應

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