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考慮1*1*1*....乘以無限次 無名 ID:eyiOKTc6No.6008回報推文編輯回應

考慮1*1*1*....乘以無限次
那麼\[\lim_{n \rightarrow \infty}{1^n}=1\]
但是\[1^\infty\]是不定值,因為
\[\lim_{n \rightarrow \infty}{\left(1 + {1 \over n}\right)^{an}}=e^a\]

同理\[0^\infty\]也是非定值,因為當\[f(t) = t\]\[g(t)={a \over t}\]
雖然\[\lim_{t \rightarrow 0}{t} = 0\]\[\lim_{t \rightarrow 0}{1 \over t}\]發散
\[\lim_{t \rightarrow 0}{f(t)^{g(t)}}\]也是發散的


為什麼次方出現無限這個符號之後
我們就需要用\[\lim_{x \rightarrow a}f(x)^{g(x)}\]來定義他的值
而不能按照次方"原本"的定義?

無標題 無名 ID:bZaTdiskNo.6009回報推文編輯
>>不能按照次方"原本"的定義?

因為還沒定義過的東西,要用就要先下定義,根本就沒有「原本的定義」。

次方裡指數的發展是這樣的,
次方最初是表示重覆的乘法,所以 a^b 只對正整數的指數 b 有定義:
a^1 = a
a^n = a * a^(n-1), n>1 (#)

當然後來也有0次方和負數次方。
雖然 a^n = 1/a^-n, n<0 和 a^0 = 1 與正整數指數的規律很吻合,
但這也是要特地定義過才能成立。
不然你只用(#)那兩條式,無論如何也證明不出負數次方是取倒數的。

再來是有理數次方 a^(M/N) (M,N為整數,N非0),同樣需要下新定義。
例如可以定義\[a^{M/N} = \sqrt[n]{a^m}\],其中 m/n 是 M/N 約至最簡的形式,
得到 8^(2/3) = 4 等等。
(當然未引入複數時,若開不了方則作 a^(M/N) 未定義論。)
(規定先約至最簡是為了避免\[(-1)^1 = (-1)^{2/2} = \sqrt{(-1)^2} = 1\]之頪。)

你問為何「無限次方」要用極限定義,
其實下一步的無理數次方,已常見是用極限定義的了。
不然要怎樣說明甚麼是\[2^\pi\]呢?
\[\pi\]個2乘起來說不通,對無理數用\[\sqrt[n]{a^m}\]也不行,
\[2^\pi\] 等作 {2^3, 2^3.1, 2^3.14, 2^3.142, ...} 的極限已是很直觀的定義了。
我知道指數的無限大因為不能單以實數討論 無名 ID:WsPjp76sNo.6010回報1推文編輯

我知道指數的無限大因為不能單以實數討論
所以必須用極限定義

但如果{2^3, 2^3.1, 2^3.14, 2^3.142, ...}已經非常直觀
意即:\[\lim_{x \rightarrow a}{2^{f(x)}}\]\[\lim_{x \rightarrow a}{f(x)} = \pi \]

那為何\[1^\infty\]不是以{1^1, 1^2, 1^3, ...}去定義
意即:\[\lim_{x \rightarrow a}{1^{f(x)}}\]\[\lim_{x \rightarrow a}{f(x)}\]大於零且發散

而是以{(1 + 1)^1, (1 + 1/2)^2, (1 + 1/3)^3, ...},或
\[\lim_{x \rightarrow a}{f(x)^{g(x)}}\]\[\lim_{x \rightarrow a}{f(x)} = 1 \]\[\lim_{x \rightarrow a}{g(x)}\]大於零且發散

說明\[1^\infty\]?
底數已經是很簡單的正整數了啊

(゚∀゚)<: 若注目在極限運算,懂二元極限的話,除了看下面,也可算算 (lim x->a, y->+∞) x^y 在 a=1 和 a>1 時有何不同 (bZaTdisk 16/05/26 15:31)
>>次方出現無限這個符號之後 無名 ID:bZaTdiskNo.6012回報1推文編輯
>>次方出現無限這個符號之後

算式出現無限時的問題,看你想在中學還是大學的範圍討論。

中學程度裡,還沒將∞當作一個「數」看待,沒真正定義∞究竟是甚麼數學概念。
所以別說1^∞, 0^∞,中學程度裡即使寫 1/∞ = 0 也是不許的。
緃使「將1平分無限多份,每份只能是0」的概念很直觀,
想表達這概念則要寫\[lim_{x\rightarrow \infinity } 1/x = 0\]
所以要表達有關「無限次方」的概念自然也要用極限。

課本裡的不定式 0/0, ∞/∞, 1^∞, 0^∞ ,各代表的是一整類的極限題目,
1^∞ 等本身只是個容易記憶聯想的名字而已,
目的在令學生遇到這頪極限式時,易於辨認,記得要怎樣做,
千萬不要以為真的在算「無限除以無限」、「1的無限次方」啊。
就像剛學負數時,課本也有寫 \[(-)\times (-)=(+)\]
這樣表達「負負得正」很好懂,但當然本身不是規範的算式。

--------

若修讀上去,想在算式裡直接用∞,數學家也有定義過擴展實數線\[\bar{\mathcal{R}}\]
https://en.wikipedia.org/wiki/Extended_real_number_line
包含平常的實數和 +∞, -∞ 兩個作為「數」看待的新符號,
並定義好涉及+∞、-∞的加減乘除和其他運算,
例如真的定義了 1/±∞ = 0 ,而 e^-∞ = 0 和 e^+∞ = +∞ 也在這系統成立。

到此自然又問 e^-∞ = 0 和 e^+∞ = +∞ 等等怎來的?
視乎具體文章作者的做法,技術上可能會直接定義 a^-∞ = 0, a^+∞ = +∞ (a>1),
也可能定義:若\[\lim_{x\to a, y\to +\infty} x^y\]等於實數L (或趨於±∞),則 a^+∞ = L (或±∞)。

這兩定義,後者乎合「a的指數無止境的大,結果也會無止境的大」的直觀,
前者採直接定義,但其實定義背後的動機不也還是為了吻合極限式,同時乎合直觀。

說回 1^∞,好像多數作者將之留為未定義,為的是吻合不定式 1^∞ 裡不定的情形,
你在 No.6010 已指出了,當f(x)恆為1時,按極限可定義 1^∞ = 1。
但另取 f(x),則極限可能不是1。
既然不同的 f(x) 沒有共識,就拉倒不定義算了,這是多數作者的做法。

像 e^∞ 就沒問題,即便用\[\lim_{x\to a, y\to +\infty} x^y\]作定義,還是得 +∞。

要是你喜歡,也可在你的論文裡,自創個獨立的新系統,定義 1^∞ = 1,
並弄清一切運算規則,別將在其他系統才成立的公式搬來用,亦無不可。
而多數作者沒這樣做,我猜是定義了 1^∞ = 1 也沒甚麼有趣或實用的結論,來吸引學者吧。
(゚∀゚)<: 順帶一提,沒有共識就拉倒的情形在0^0也有嘛,0=0^1=0^2=...暗示0^0定為0就好,但1=1^0=2^0=...卻要0^0定為1才行,所以一般而言0^0留為未定義 (bZaTdisk 16/05/26 15:47)
感覺有懂一些了 無名 ID:WsPjp76sNo.6013回報3推文編輯

感覺有懂一些了
但如果今天要計算的不是1^∞,而是0^∞
我應該怎麼找出0^∞是多少?

如果這樣做的話:
\[\lim_{x \rightarrow c}{f(x)=0}\]
\[\lim_{x \rightarrow c}{g(x)=\infty}\]

\[0^∞ = \lim_{x \rightarrow c}{f(x)^{g(x)}}\]
\[=\lim_{x \rightarrow c}{exp(g(x)\ln{f(x)})}\]
\[=\lim_{x \rightarrow c}{exp({\ln{f(x)} \over {1 \over g(x)}})}\]
\[=exp({-\infty \over 0})\]
\[=-\infty\]
這樣做可以嗎?

不過共識好像是0^∞,為什麼?

(゚∀゚)<: 啊等等0^∞根本不是不定式,0^∞才是。我上面沒多想也寫錯了。無窮多個趨近0的數相乘,取0就好嘛 (.Q4t9Q0o 16/05/26 22:19)
(゚∀゚)<: 你的g(x)是∞不要動,ln f(x)是-∞,所以g(x) ln f(x)還是-∞,再取e^-∞就得0 (.Q4t9Q0o 16/05/26 22:23)
(゚∀゚)<: 看來把g(x)移動到分母好像反而是多餘的 (WsPjp76s 16/05/26 22:25)
無標題 無名 ID:/ctX89ZkNo.6014回報推文編輯

這時候我們需要考慮ε, δ-language吧?


為什麼對cosx作Fourier transform有2個imp... 無名 ID:yTACh.AINo.6000回報推文編輯回應

為什麼對cosx作Fourier transform有2個impulse functions?
其實我對fourier transform後的圖像也不太明白
x軸是代表頻率, y軸是代表magnitude嗎?
如果是的話, 為什麼cosx有2個impulse functions呢?不是一個嗎?

無標題 無名 ID:QfqJgZwMNo.6001回報1推文編輯

哪有兩個impulse functions?
你說負頻率那個嗎?
管它正負還不是同一個頻率
請把它們加在一起看待
合起來才構成該頻率的完整資訊(相位和虛實部等等)

(゚∀゚)<: 為什麼正負是一樣? 還有為什麼是impulse function呢?那一點的magnitude可是無限啊...但cos(x)不就是一個頻率,magnitude為1嗎? (yRnHDdyM 16/05/19 19:33)
無標題 無名 ID:QfqJgZwMNo.6002回報6推文編輯
>為什麼正負是一樣?
cos x的頻率是多少?
cos (-x)的頻率是多少?
sin x的頻率是多少?
sin (-x)的頻率是多少?

>還有為什麼是impulse function呢?
數學上可以簡單由算式看出來,不必多說吧
不過我想你問的並不是算式上的解釋

以電子學/物理的概念理解,「功率」沒錯是1
但是取樣由t=-∞到t=+∞,所以「總能量」是無限大
因為Fourier transform的結果跟時間無關
所以不要用每分每秒在變化的「功率」來理解/類比
(゚∀゚)<: 啊..所以正常來說,function經過fourier transform之後, 會左右對稱, 但我還是不明白為什麼magnitude不是1啊 (yRnHDdyM 16/05/19 20:24)
(゚∀゚)<: fourier transform不就是看fourier series中的系數嗎? cos(x) = 1*cos(x)啊? 我完全不明白啊 (yRnHDdyM 16/05/19 20:26)
(゚3゚)。o0: 不是左右對稱,sin x就不是對稱了 (QfqJgZwM 16/05/19 22:07)
(゚3゚)。o0: 一般運用上會當成magnitude沒錯,但仔細一點說是包含該頻率所有資訊 (QfqJgZwM 16/05/19 22:12)
(゚3゚)。o0: 所以不要一律當成magnitude看,組枝大葉當然不難以理解當中細節 (QfqJgZwM 16/05/19 22:14)
(゚3゚)。o0: 另一個看法是只有一兩個無闊度的點不是零,但是逆變換積出來卻不是零,只能是impulse function了 (QfqJgZwM 16/05/19 22:27)
無標題 無名 ID:1jl1RjC.No.6004回報推文編輯

我不明白...可以用這張圖解釋一下經過fourier transform後,
x軸,y軸代表的意思嗎? 以及F(cosx),為什麼是impulse function?

無標題 無名 ID:Eajm3jVoNo.6007回報10推文編輯

由Fourier series說起
對周期L的實數函數f(x),我們有
\[a_n={2\over L}\int_{0}^{L}f(x)\cos({2\pi n x\over L})dx\]
\[b_n={2\over L}\int_{0}^{L}f(x)\sin({2\pi n x\over L})dx\]
\[a_n\]\[b_n\]是magnitude嗎?
可以說是也可以說不是,嚴格來說它們合起來\[\sqrt{a_n^2+b_n^2}\]才是整個頻率的magnitude
這兩個數字也決定了相位(算式太麻煩不寫了)

進一步我們考慮複數函數,我們通常把sin和cos兩項合拼為
\[c_n={1\over L}\int_{0}^{L}f(x)e^{-i{2\pi nx\over L}}dx\]
然而如果只有這項,虛部和實部振幅永遠相同,相位也永遠相差90°
加上「負頻率」才能得到符合f(x)的虛部實部振幅和相位

概念上Fourier transform是周期無限長的Fourier series
把L→∞,我們得到……等等,\[c_n\]開頭的部分是1/L
這樣除了像cos x那樣無限長的周期函數以外全都打成零了,逆轉換也無法進行
把它拿掉吧,Fourier transform的結果也成為類似像密度的東西
像cos x這種無限集中在同一個頻率的輸入就變成impulse function了

(゚∀゚)<: 有點明白,那cosx+cos2x+cos3x+...的fourier transform呢? 無限集中在無限的位置? (1jl1RjC. 16/05/20 21:34)
(゚3゚)。o0: 這問題有夠爛,cosx+cos2x+cos3x+...本身已經有無限個無限大了 (1QPx3XtE 16/05/21 13:34)
(゚3゚)。o0: 再者無數個impulse functions也不是什麼不可思議的事 (1QPx3XtE 16/05/21 13:38)
(゚∀゚)<: 最後三句能再詳細一點嗎? (RSqkM1DY 16/05/21 15:08)
(・_ゝ・)<: 先想一下Fourier transform是要拿來做啥的吧… (upBR6Ka6 16/05/23 09:02)
(・_ゝ・)<: 而且如果只是針對所謂的「2個impulse functions」,中間那一段就已經說得很清楚了 (upBR6Ka6 16/05/23 09:02)
(・_ゝ・)<: 順帶一提,那不是impulse function…只是數值為1的一個點而已 (upBR6Ka6 16/05/23 09:04)
(゚3゚)。o0: 回RSqkM1DY,試試拿非周期函數(如No.6004)當周期L很長的函數做Fourier series (TswZ6i9c 16/05/24 17:29)
(゚3゚)。o0: 得出來的結果會跟周期成反比,當周期趨向無限大結果就是一片零。拿掉1/L出來的意義有微妙的變化 (TswZ6i9c 16/05/24 17:36)
(゚3゚)。o0: 回upBR6Ka6,用x範圍由-∞到+∞那條算式做Fourier transform便會有impulse function (TswZ6i9c 16/05/24 17:44)

心臟病 (撲克牌遊戲)的數學問題  ID:D0m29n5YNo.5985回報1推文編輯回應

很想知道假設按規則玩下去,造成和局的機率是多少??

和局即是指所有玩家都把牌打出了,卻無事發生

(゚∀゚)<: 用亂序算? (pc2erXps 16/05/04 09:15)
答案以最簡分數是 無名 ID:e/ZQD.CcNo.5987回報推文編輯

答案以最簡分數是
4610507544750288132457667562311567997623087869
------------------------------------------------
284025438982318025793544200005777916187500000000

以小數約0.0162327,
這是借助了電腦編程才算出來,不過過程也不是不需人腦思考的。

這題可表述成隨機排列{1, 2, ..., 52}為數列a,
問i取1至52時,\[a_i\not\equiv i \pmod{13}\]均成立的機率。

先看問題的簡化版本:把以上條件改為\[a_i\neq i\]
這對應遊戲用1至52的號碼卡玩,喊數也由1喊至52,出牌和喊數相同時要給反應。

參見The envelope matching problem,
http://mathforum.org/library/drmath/view/56592.html
https://probabilityandstats.wordpress.com/2010/02/18/the-matching-problem/
這樣問題便有個很漂亮的解答,
機率是1-1/1!+1/2!-1/3!+1/4!...+1/52!,很接近1/e。

現在想修改The envelope matching problem的算式以吻合原題。
\[A_i\]\[a_i\equiv i \pmod{13}\]這事件。
類似簡化題目的解法,現在也想求\[P(A_i), P(A_i\cap A_j), P(A_i\cap A_j \cap A_k)\]等等。

首先可見,對所有i,\[P(A_i)\]均為4/52 = 1/13。
例如喊13時出牌剛好是13, 26, 39或52,機率當然是4/52。

\[P(A_i\cap A_j)\]開始就麻煩點,
如果i和j不同餘,則\[P(A_i\cap A_j) = 4/52 \times 4/51\]
例:喊1時出牌是1, 14, 27或40,兼喊2時出牌是2, 15, 28或41,機率是4/52 * 4/51。
但若i和j除以13同餘,則\[P(A_i\cap A_j) = 4/52 \times 3/51\]
例:喊1時出牌是1, 14, 27或40,兼喊14時出牌也是1, 14, 27或40,機率是4/52 * 3/51。

文長休息一回再發。

無標題 無名 ID:e/ZQD.CcNo.5988回報推文編輯

續,補充上面i, j不代相同值的。
若取i和j不同餘,有52*48/2種取法。
若取同餘,有13* 4C2種取法。

然後算\[P(A_i\cap A_j\cap A_k)\] (i, j, k兩兩相異) 了。
這次更要分為i, j, k兩兩不同餘,i, j同餘而k不同,i, j, k皆同餘,三種情況。
i, j, k兩兩不同餘:\[P(A_i\cap A_j\cap A_k) = 4/52\times 4/51\times 4/50\],這樣的i, j, k有52*48*44/3!種取法。
i, j同餘而k不同:\[P(A_i\cap A_j\cap A_k) = 4/52\times 3/51\times 4/50\],這樣的i, j, k有13* 4C2 *48種取法。
i, j, k皆同餘:\[P(A_i\cap A_j\cap A_k) = 4/52\times 3/51\times 2/50\],這樣的i, j, k有13* 4C3種取法。

再之後是四個\[A_\bullet\]重疊的機率了。
不如寫為\[P(A_i_1\cap A_i_2\cap A_i_3\cap A_i_4)\],並引入以下的「加式」表達有哪些i同餘:

\[i_1,i_2,i_3,i_4\]兩兩不同餘:
「加式」為"1+1+1+1",機率為\[(P^4_1)^4/P^{52}_4\],有\[P^{13}_4/4!\times (C^4_1)^4\]種取法。
\[i_1,i_2,i_3\]兩兩不同餘而\[i_1,i_4\]同:
「加式」為"2+1+1",機率為\[P^4_2(P^4_1)^2/P^{52}_4\],有\[P^{13}_3/2!\times C^4_2(C^4_1)^2\]種取法。
\[i_1,i_2\]同,\[i_3,i_4\]同,\[i_1,i_3\]不同:
「加式」為"2+2",機率為\[(P^4_2)^2/P^{52}_4\],有\[P^{13}_2/(2!)^2\times (C^4_2)^2\]種取法。
\[i_1,i_2,i_3\]同,獨\[i_4\]不同:
「加式」為"3+1",機率為\[P^4_3 P^4_1/P^{52}_4\],有\[P^{13}_2 C^4_3 C^4_1\]種取法。
全同餘:
「加式」為"4",機率為\[P^4_4/P^{52}_4\],有\[P^{13}_1 C^4_4\]種取法。

以上要點排列組合的根底才跟得上,而且也要自己想一遍,計算太多不能全部說明。
另外為了之後編程的需要,算式不一定採最直覺的寫法,而是由統一的規律生成。

解說一下,"2+1+1"的\[P^4_2(P^4_1)^2/P^{52}_4\]中,\[P^{52}_4\]的4來自現在有\[i_1\]\[i_4\]四項,\[P^4_2\]的2來自加式的2,\[(P^4_1)^2\]的1來自加式有1,2次方是因為有兩個1。

而取法\[P^{13}_3/2!\times C^4_2(C^4_1)^2\]中,\[P^{13}_3\]是因為加式有3個數加起來,除以2!是
因為加式中有兩個1是重複的,然後\[C^4_2(C^4_1)^2\]生成規律和上段\[P^4_2(P^4_1)^2\]一樣的,只是P換成C。

加式方面,就只是要窮舉4拆分為正整數之和的組合。

掌握了機率和取法數如何由加式生成,有更多\[A_i\]重疊的機率也能編程算了,
先讓程式生成"1+1+1+1+1", "2+1+1+1", "2+2+1", "3+1+1", "3+2", "4+1"
(其實就是這步的推廣卡住,非得用到電腦才可解)
(另外留意加式沒有"5"或以上的,因為撲克同一點數沒有5種花色啊)
(加式也不能有超過13個數加起來的,因為撲克只有13種點數)
再按上面規律列式計算機率和取法數。

最後對照The envelope matching problem,
算出\[1-m_1 P(A_i_1)+m_2 P(A_i_1\cap A_i_2)-m_3 P(A_i_1\cap A_i_2\cap A_i_3)+...\]
其中像\[m_4 P(A_i_1\cap A_i_2\cap A_i_3\cap A_i_4)\]這些項的算法是,
分別將每個加式的機率與取法數相乘,然後將各加式的乘積取和就是。

\[m_2 P(A_i_1\cap A_i_2)\]就是(見上帖) (4/52*4/51 * 52*48/2) + (4/52*3/51 * 13*(4C2))
因為這項本來的意思就是將每組\[P(A_1\cap A_2), P(A_2\cap A_3),\ldots\]全加起來。

無標題 無名 ID:a7DWIVd6No.5995回報12推文編輯

雖然說用電腦解感覺有點作弊
不過已經用理論解開了就當作是理論解吧

這個題目我會讓電腦模擬多次遊玩後的結果
因為規則全部知道的情況下,也就知道所有的分布機率
用蒙地卡羅算起來很簡單,8行的小程式就好
讓電腦玩1000萬局算出0.0162,花大概2分鐘

收起推文
2推省略……
(゚∀゚)<: 詳細蒙地卡羅 (zg52.FyA 16/05/09 12:59)
(゚∀゚)<: 所謂蒙地卡羅就是暴力解,讓電腦隨機玩幾萬局去實驗看機率大概是多少 (zEv7jC7s 16/05/09 14:46)
(゚∀゚)<: 2分鐘能跑一千萬次你家電腦的運算力好像不低耶... (b1w7qF8Q 16/05/18 08:26)
(゚∀゚)<: 衝這句我也實驗看看,用C語言比我預想中還快,四線程的程式在四核i5,用90.63秒就跑了664,414,811局!而且程式還可以再寫快一點的 (EsxmhAWs 16/05/18 22:54)
(゚∀゚)<: 可惜我的程式一直算出0.040,應該還是已有三種方法驗證過的0.016才對 (EsxmhAWs 16/05/18 23:04)
(゚∀゚)<: Debug過應是我用C的stdlib.h的rand_r()產生的自亂數不夠均勻所致,以前也聽說撲克組合52!實在太大,一般亂數器的熵不夠產生均勻分佈云云,這我不懂解決 (EsxmhAWs 16/05/18 23:06)
(゚∀゚)<: 但總之這解決了後,兩分鐘一千萬局應該是很充裕,上面一分半就六億了 (EsxmhAWs 16/05/18 23:08)
(゚∀゚)<: 改用cstdlib看看,之前我也碰過math.h有問題改cmath就OK的...不過要用C++就是了(沒記錯的話 (kGPLWXAI 16/05/20 04:43)
(゚∀゚)<: a7DWIVd6 : 我是用matlab跑的, 沒有特別考慮運算速度 (xWjUoyAg 16/05/23 19:00)
(゚∀゚)<: CPU是AMD PRO A4, 雖然比不上高級CPU, 但是算這種題目很夠用了 (xWjUoyAg 16/05/23 19:01)
(゚∀゚)<: 關於程式內容:先做出4次1:13的數列後打亂, 然後比較有沒有打亂後數字跟原本的數列重複的數字 (xWjUoyAg 16/05/23 19:03)
(゚∀゚)<: 速度上應該有更快的寫法 (xWjUoyAg 16/05/23 19:07)
無標題 無名 ID:b1w7qF8QNo.5999回報2推文編輯

準確的算法上面有奆奆答了
如果你想要快速估算大概多少場會發生一次(數學專長的別打我)
(13/12)^52 你會發現算是接近理論值,不是生死或者學分攸關的場合應該能接受了

(゚∀゚)<: 13/12念作十二分之十三 (JTgC6RqA 16/05/19 11:24)
(゚∀゚)<: 你這算法得出約64.2場一次,比理論值高了4%左右,如果能在數秒內回答算是合理吧。 (LTmzQHD. 16/05/20 14:42)

今有一楓之谷玩家 無名 ID:zn0n7902No.5996回報推文編輯回應

今有一楓之谷玩家
衝30%詛咒捲 有30%機率會成功
若失敗 道具有50%機率會被破壞

若此玩家衝某裝備7次 求此裝備+4以上的機率為何?
(若某次裝備被破壞即不能再繼續衝)

無標題 無名 ID:e28qD4LUNo.5997回報4推文編輯

有好幾種方法
使用電腦的話
矩陣法比較帥氣
附圖那個乘開就好了

(゚∀゚)<: Markov Chain+1, 這題一看就是Markov的題目 (xWjUoyAg 16/05/23 19:08)
(゚∀゚)<: 注意答案是第4個數字 (xWjUoyAg 16/05/23 19:11)
(゚∀゚)<: 加上後面的數字 (xWjUoyAg 16/05/23 19:12)
(゚∀゚)<: 不過感覺矩陣不大對, 行的加總應該要是1, 另外還要absorbing state (xWjUoyAg 16/05/23 19:16)

阿彌陀佛哪位島民能救救我的大一數學 準備被當惹 無名 ID:Ow9U7Zx2No.5994回報4推文編輯回應

阿彌陀佛哪位島民能救救我的大一數學 準備被當惹

(´д`)▄︻┻┳═一: http://imgur.com/a/C0iZf (Ow9U7Zx2 16/05/08 20:16)
(゚∀゚)<: 人生不是只有數學這條路 (KJDs0esc 16/05/08 21:42)
(゚∀゚)<: 等到你大二時就會覺得大一的科目都很簡單 (mvbKc0Z. 16/05/16 00:41)
(゚∀゚)<: 放在大一的課就是要你修四年的。 (9aE5.oLg 16/05/16 16:48)

想請教 無名 ID:XZQwqsWwNo.5982回報5推文編輯回應

想請教

今天一張彩卷中獎機率10%,彩卷中獎是獨立事件
我買了30張彩卷,不中獎的機率是(0.9)^30 = 0.042 約莫是4%
所以我可以說"當我買30張彩卷,我有高達96%的中獎機會"嗎?

不知道有沒有推薦的書籍討論機率跟微積分,希望盡可能是中文的
因為以往看原文書或多或少有些用詞不太清楚意思
為了讓公式可以解讀的通,往往扭曲了部分意思而不自知

(゚∀゚)<: 嚴格的說,至少中一張的機率是96% (4pUNHMeY 16/05/03 19:28)
(・ω・)。o0: 正確。而且96%中獎機會裡還包括中超過一個獎 (lPL/o6yA 16/05/03 19:30)
(゚∀゚)<: 原PO:太好了 沒錯誤理解這部分,不過還是想請大家推薦書籍 (XZQwqsWw 16/05/03 23:37)
(゚∀゚)<: 沒有特別指定程度的話,就到大學附近的二手書店買一本便宜的來自修就可以了 (nqZ0FkXs 16/05/04 00:29)
(゚∀゚)<: 比較希望是可以清楚講完觀念,比較大的問題是往往會算但不知道為何這樣算,深入一問就不清不楚 (pc2erXps 16/05/04 09:17)

要怎麼跟學生解釋 無名 ID:aus50c3gNo.5974回報5推文編輯回應

要怎麼跟學生解釋

"微分一定可以微,積分不一定積的出來"

這裡指的是技術層面,而不管甚麼連續不連續的問題

(゚∀゚)<: 不負責任的解釋 : 微分有對付乘除次方的方法, 積分沒有 (tsev2zU6 16/04/15 22:22)
(゚∀゚)<: 微積分都忘光了,記得不管什麼函數用泰勒展開式都勉強可以積分? (Nsxa1qWA 16/04/16 03:03)
(д)゚゚y━・~: 並不是所有函數都可以用泰勒級數展開。泰勒級數展開的第一條件就是要N階導數階在收斂區間內可微。 (T5ZeswrA 16/04/17 10:44)
(д)゚゚ノ: 如果樓主的意思是指學生以手寫的方式能微,可是無法手寫的方式積出某函數。我想e^(x^2)會是最好的例子。 (T5ZeswrA 16/04/17 11:08)
(д)゚゚ノ: 另外,試卷的題目一定是可用手寫方式積分或微分(除非出題者出錯了)。但是可不可微或積分還是要依照定義來看。所以連續函數(平滑或片短平滑)的定義及觀念還是很重要的! (T5ZeswrA 16/04/17 11:11)
無標題 無名 ID:Bb72Yd6QNo.5976回報2推文編輯

技術層面是指甚麼?
處處連續卻處處不可微的函數也是有啊。
如果限指中學遇得到的,
那積分也是沒看過多少不能積的,
只是答案不一定能表達成初等函數的組合。
可不可積,和積了答案如何表達出來,是兩個概念。

如果在討論後者,原因大概是微分有鏈式法則,
能將初等函數的組合,微分回初等函數的組合,
而積分則缺了這法則,以致積分結果有時出了初等函數之外。

不過要再問為甚麼積分沒有鏈式,
為甚麼微分操作在初等函數組合上是閉的而積分操作不是,
問題層次就忽然很高了。
可能因為微分只關乎函數局部的斜率,而積分量面積時是全局相關,
影響因素更多,所以積分較「難」吧。

(゚∀゚)<: 補充真的問可不可積的話,其實可積比可微還更常見呢,一堆不連續的函數還是可積的,要舉不可積的例也較難想,如要找些不連續處多到某程度的。 (Bb72Yd6Q 16/04/16 09:44)
(゚∀゚)<: 聽說有的三角函數有些明顯可積,但最後會有兩個實際上是同樣東西的答案 (SLBDBhE6 16/04/18 21:03)
無標題 無名 ID:U84R.j9ENo.5977回報2推文編輯

正如>>No.5976
所說有 Non-Differentiable Functions
所以"微分一定可以微"這說法並不適當

但大概理解原PO的意思 不妨改成這麼說
"有些事依方法作便能簡單辦到 但把事情倒過來辦卻不一定"

數學上的例子
(A)把兩個質數相乘 151*389
(B)已知一數由兩個質數相乘求這兩個質數 58739
(A)明顯比(B)簡單 特別是這兩素數都十分大的時候
P.S.使用計算機也是(A)比(B)簡單

日常的例子
(A)把完成的拼圖拆散
(B)把拆散的拼圖完成

注意的是並不代表(B)一定很難
例如 求15的因數 或 完成只有10件的拼圖

中學微積分正是這樣

(゚∀゚)<: 好像在談密碼學一樣 (JdlZgUPU 16/04/17 22:23)
(゚∀゚)<: 推 (rhpQ9I8Y 16/04/18 11:15)

關於MPK 經濟微分 ID:lbcjH./.No.5971回報推文編輯回應

關於MPK
我怎麼算
他(H/K)的地方我都算(K/H)...

有人剛好會的嗎?

無標題 無名 ID:mBKpmVnYNo.5972回報4推文編輯

無內文

(゚∀゚)<: 所以是我的圖片弄錯??? (QjPiu5Og 16/04/11 01:54)
(゚∀゚)<: 所以說我給的圖中MPK是錯的?? (QjPiu5Og 16/04/11 01:57)
(゚∀゚)<: 謝謝喔 (QjPiu5Og 16/04/11 02:20)
(゚∀゚)<: OP那張的邊際資本產量算錯了 (MnelhwR6 16/04/11 08:41)


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