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大小數法則 無名 ID:k0DX9RK2No.6192回報3推文編輯

看了幾篇文章還是不太能理解

公正硬幣,擲硬幣正反面各有1/2的機會朝上

小明跟人打賭說五次中至少一次會是反面,今天連擲5次都是正面的機會是1/32

當小明真的不太幸運的前四次都擲到正面
我們都知道在擲第五次時,正反兩面依舊是1/2機會,不受前面4次的影響
但由大數法則在"遊戲開始前"便知道這機率只有1/32
所以小明的心態上究竟該要覺得接下來會是31/32,還是戰戰競競的面對獨立事件該有的1/2 ?

還是說我們必須轉換思考成
每擲一次硬幣就要將機率扣減?
ex
第一次 小明:1/32耶~ 五次擲不出反面我給你肛 正面
第二次 小明:1/16耶~ 四次擲不出反面我給你1000 正面
第三次 小明:1/8 我可以要求換錢嗎? 正面
第四次 小明:1/4 ...... 正面
第五次 小明:我有事情下次再玩

(゚∀゚)<: 對,機率是對未知事物的預測,當投擲完畢事件結果確認後就沒有機率了 (gqHkwhhM 17/02/24 17:13)
(゚∀゚)<: 哦哦 感謝確認!! (k0DX9RK2 17/02/24 19:06)
(゚∀゚)<: 這個例子和LLN有什麼關係,LLN講的是重複實驗,這個例子只做了一次,這只是單純的機率計算,名詞別誤用 (u9anaCsY 17/02/24 22:22)
無標題 無名 ID:N8S59g.oNo.6193回報3推文編輯
>>(゚∀゚)<: 這個例子和LLN有什麼關係,LLN講的是重複實驗,這個例子只做了一次,這只是單純的機率計算,名詞別誤用 (u9anaCsY 17/02/24 22:22)

是這樣的,當我查詢這類的想法,通常會提到大數法則
因為大數法則的關係,擲四次正面後可能會想說
"這是公正硬幣,兩面發生機率各1/2,我想下一次一定會是反面,來平衡這個都是正面的狀態"
然後就變成小數法則了...

我前面的描述有錯誤,抱歉有誤導
>>但由大數法則在"遊戲開始前"便知道這機率只有1/32 -- (X)
這邊該表達是"正面該是50%的出現機率,而不是100%的出現機率"這樣才對

我應該是誤解哪篇文章的敘述,真是抱歉
(゚∀゚)<: 給你個關鍵字,「賭徒謬論」 (r0rIwWKs 17/02/26 11:55)
(゚∀゚)<: 我以為小數法則就是賭徒謬論? (pw2oIhtA 17/02/28 18:34)
(゚∀゚)<: 小數法則是指,人們會下意識使用賭徒謬論,而不是賭徒謬論本身 (tGBPeWvA 17/03/03 14:49)
無標題 無名 ID:MAC8WkLINo.6194回報5推文編輯

大數法則有是有,但很多人誤會了其意思。
這樣說明希望能帶出問題:假設甲擲幣10次,4正6反;乙擲40次,18正22反,
那誰的擲幣結果較「均勻」?

若按出現正面次數與期望之差算,甲少了1次正面,乙少了2次,所以甲的結果較「接近」期望值。
但若按正面的比例與期望之差算,甲的40%比期望的50%少了10%,乙的45%少了5%,這樣則是乙較「接近」期望值。

以上兩算法的結果完全相反,所以要探討擲幣時,落後的一面會否追上來,
必先約定要按絕對的次數算,還是按比例算。


其實看過大數法則的話,可知其用的就是比例的算法,而非絕對次數。
一般認為「已經4次正面了,下次反面應會追上來」的推論也是錯在這步。

就假設現在已擲出4正0反,按次數正面比期望多了2次,按比例正面多了50%。
即使每次擲幣都是獨立的,硬幣不懂自己調和正反,永遠維持正反各半機會,
到第5次的擲幣結果,就有一半機率5正0反,正多了2.5次、50%;
另一半機率4正1反,正多了1.5次、30%。

將第5擲兩個可能結果再取期望,正面領先次數期望還是(1.5+2.5)/2 = 2,比例則是(50%+30%)/2 = 40%。
正面比例多出40%,不就比先前多出50%「改善」了?
又假設第5擲是正,故意設再擲45次,還是正多反少,25正20反,
那總計30正20反,正面佔60%,不就只比期望的50%只多10%了嗎?已經故意假設正多反少了哩。

因此永遠維持正反各半機會,其實沒違反大數法則。
大數法則也沒有約束硬幣要像有意識地調和正反,
其只是指出即使每次投擲維持獨立,次數多了,正反比例也會自然而然,趨於期望值。

P.S.
讀過基本統計,會知道擲幣n次,正面次數的期望是n/2,
而(正面次數 - n/2)這偏差也能期望,是與√n成正比,因此會隨n增長;
按比例算的偏差(正面比例 - 1/2)的期望,則與√n成反比,因此會隨n增長而下降,
這也是弱版大數法則背後的支持。

(゚∀゚)<: 感謝解說,學到不少東西! (pw2oIhtA 17/02/28 18:33)
(゚∀゚)<: 我想表示用詞用錯了,不是偏差的期望而是偏差平方的期望 (WBevNabE 17/03/06 08:22)
(゚∀゚)<: 該沒錯吧?因為我寫了√n而非n (p3vpjTK6 17/03/08 22:02)
(゚∀゚)<: 中文不是很確定,但是standard deviation跟deviation意思是不一樣的 (8v77fwPU 17/03/14 03:01)
(゚∀゚)<: 原來指這個,我這邊也是用英文讀的,寫中文時漏了「標準」不好意思 (9q3LgAvA 17/03/15 08:43)
無標題 無名 ID:EfZ.ewgMNo.6195回報4推文編輯
>小明的心態上究竟該要覺得接下來會是31/32,還是戰戰競競的面對獨立事件該有的1/2
還沒擲硬幣的時候的確是1/32的機率沒錯
可是想想他已經擲了4次正面欸(大約6%)
這機率幾乎可以抽一張SSR了欸
所以要他認為接下來是1/2機率不過分吧
(゚∀゚)<: 是指已經抽了1/16,運氣這麼差,就別肖想31/32嗎? (pw2oIhtA 17/02/28 18:36)
(゚∀゚)<: 應該說實際上你要解讀成幸運還是不幸都行,所以不應該會影響? (E9UoTA0A 17/03/01 17:47)
(゚∀゚)<: 我知道是不影響,但我看不懂這篇的說明? (nP1RLm.Q 17/03/01 19:27)
(゚∀゚)<: 可能是說他相當於已經抽中一張SSR了,接下來運氣應該重置了,所以變回1/2 (TvGPrI5. 17/03/03 19:49)
無標題 無名 ID:q/wYwmE.No.6197回報推文編輯

如果你要用整體機率來看
第五次是正面的機率1/32
但是第五次是反面機率也是1/32呀
"正正正正正"和"正正正正反"都是各1/32
你所謂的31/32會是包含前四次有出現反面這狀態

無標題 無名 ID:MLmia/4wNo.6198回報推文編輯

「連擲五次硬幣都正面的機率」跟
「連擲五次硬幣,已知前四次都正面,最後會是五次都正面的機率」
是不一樣的
你丟了四次後,題目就從前者變成後者,機率也從1/32變成1/2
已知資訊會影響機率
你每丟一次硬幣,機率都會隨著該次的結果而改變

所以當你丟了四次都正面後
你就該準備一下尿遁了


另外
大數法則的原理是這樣
你丟兩次硬幣,一正一反的機率比兩正、兩反都高
並不是因為你丟了一正後硬幣會想要補一個反給你
而是因為你可以在一正之後補一反、也可以在一反之後補一正,兩種方式都能達到一正一反
反之,你要兩正的話一定要一正之後再一正,要兩反一定要一反之後再一反
所以一正一反的機率比較高
是因為他的路徑可能性比較多

如果你丟100次硬幣,40正60反的機率比10正90反的機率高
是因為前者你可以40正之後60反、可以先20正再60反再20正、可以4正6反4正6反...
有很多種路徑可以湊出40正60反的數字
反之後者很難湊,一不小心有11正就爆掉回不來了
所以前者機率才比較高
越接近50正50反的,路徑就越多,機率也越高



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